数学得意な方いませんか

直線y=x+2　と　放物線y=ｘ^2-2ax+5a^2+2 とが相異なる2点P，Qで交わる。
原点Oを中心として△OPQの面積をSとするとき、Sの最大値とそのときのaの値を求めよ。

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という問題を解いていました。
^2　は二乗のことね。

答えは出たんだけど、もっと簡単に解く方法はないかなあ…。持ってるテキスト、解法付いてないんだよな。古本屋で買ったものだし。
最初は３辺の長さ求めてヘロンの公式から出そうかと思ったんだけども、計算が恐ろしい事になったので却下。
行きついた私の解法は以下。

１）　定数aの範囲を出す
２）　交点の座標をaを使って表す
３）　交点の座標の正負を判定する→すべて正でした。
４）　P，Qのｘ座標をそれぞれXp，Xq　（Xp＜Xq）とおく
５）　面積S=1/2 *2*Xq - 1/2*2*Xp
=Xq - Xp
=√-16a^2 + 4a +1

６）　５の式を平方完成し、　　　　　　　　
　　　　a=1/8 のとき　　　最大値 √5
　答）　　　　　　　　　　　　 　　　　　　2